Oud examens voor

Vragen

(2.2p) K1. Elektrisch veld tussen de twee metalen

Het elektrisch veld op punten langs de $x$-as tussen de twee grijze metalen voorwerpen in de volgende figuur wordt gegeven door:

$$\vec{\mathbf{E}} = E_0 \frac{a}{x + 3a} \hat{\mathbf{i}}$$

Leid voor deze opstelling symbolische uitdrukkingen af voor:

• a) Het spanningsverschil $V_q - V_p$ tussen de twee metalen platen.
• b) De oppervlakteladingsdichtheid in punt p.

(2.2p) K2. Magnetisch veld van MRI-scanner

Het magnetisch veld van een MRI-scanner wordt dikwijls opgewekt met een supergeleidende Helmholtzspoel, omdat dit een eenvoudige constructie is die bij goede benadering in het midden van de spoel een homogeen magnetisch veld opwekt.

Een Helmholtzspoel bestaat uit twee cirkelvormige windingen met straal $R$ die in parallelle vlakken liggen. De verbindingslijn tussen de middelpunten staat loodrecht op deze vlakken. Kies deze rechte als de $x$-as met het midden tussen de cirkels als de oorsprong.

Beide windingen voeren dezelfde elektrische stroom in dezelfde zin, waardoor het magnetisch veld $B_x$ langs de verbindingslijn een even functie is. In het midden tussen de twee cirkels is de eerste afgeleide $\partial B_x / \partial x$ nul bij constructie. Om in het midden een goede benadering van een homogeen veld te bekomen, kiest men de afstand tussen de cirkels zo dat de tweede afgeleide $\partial^2 B_x / \partial x^2$ ook nul wordt. (Bij een homogeen veld zijn alle afgeleiden nul.) Bij welke afstand tussen de middens verdwijnt deze tweede afgeleide?

(2.2p) K3. Kathodestraalbuis

Beschouw de volgende kathodestraalbuis die gevoed wordt door een spanningsbron met emk $\mathcal{E} = 12,0\text{ kV}$.

Na de anode is er een rechthoekig gebied met een homogeen magnetisch veld met sterkte $B = 2,60\text{ mT}$ dat van je wegwijst, loodrecht op de baan van de inkomende kathodestraal. Het gebied met het magnetisch veld heeft breedte $\ell = 8,00\text{ cm}$ en hoogte $D = 15,0\text{ cm}$ (ook de diameter van de buis).

Bereken de grootte van de snelheid waarmee de deeltjes in de kathodestraal tegen de wand van de buis botsen. Geef een numeriek antwoord met drie beduidende cijfers.

(2.2p) K4. Elektrocardiogram

Bij het meten van spanningen in een biomedische context, bijvoorbeeld bij het opnemen van een elektrocardiogram, is de spanning een superpositie van een laag-frequente achtergrond (drift) en een hoog-frequent signaal dat men wil opnemen. Een RC-filter is een eenvoudig circuit om de relevante hoogfrequente component te isoleren uit een spanning $V_{\text{in}}$ die door een sensor opgewekt wordt:

• a) Bepaal over welke component ($C$ of $R$) het hoogfrequente deel gemeten kan worden als de ingang bestaat uit een superpositie van verschillende frequenties. Motiveer je antwoord.

• b) De weerstand en capaciteit zijn respectievelijk $R = 10\text{ k}\Omega$ en $C = 100 \text{ }\mu\text{F}$. Bereken de frequentie waarbij de amplitude van de wisselspanning over beide componenten gelijk wordt. (Dit wordt ook wel de cutoff-frequentie genoemd.) Geef een numeriek antwoord met het juiste aantal beduidende cijfers.

(1.1p) M1. Circuit

Beschouw het volgende circuit met initieel een opgeladen condensator aan de linkerkant. (Positieve lading bovenaan)

Op tijdstip $t = 0\text{ s}$ wordt schakelaar $S_1$ gesloten. Na precies een tijd $T_1$ wordt $S_1$ geopend en wordt tegelijkertijd schakelaar $S_2$ gesloten. Finaal wordt op tijdstip $T_1 + T_2$ schakelaar $S_2$ geopend. Met welke combinatie van tijden $T_1$ en $T_2$ wordt de volledige lading overgezet op de rechtse condensator, weer met de positieve lading bovenaan?

Antwoorden opties:

• d) $T_1 = \frac{\pi}{2} \sqrt{LC_1}$ en $T_2 = \frac{3\pi}{2} \sqrt{LC_2}$
• a) $T_1 = \pi \sqrt{LC_1}$ en $T_2 = 3\pi \sqrt{LC_2}$
• n) $T_1 = \pi \sqrt{LC_1}$ en $T_2 = \pi \sqrt{LC_2}$
• p) $T_1 = 2\pi \sqrt{LC_1}$ en $T_2 = 6\pi \sqrt{LC_2}$
• x) $T_1 = \frac{\pi}{2} \sqrt{LC_1}$ en $T_2 = \frac{\pi}{2} \sqrt{LC_2}$
• g) $T_1 = 2\pi \sqrt{LC_1}$ en $T_2 = 2\pi \sqrt{LC_2}$ Er is slechts één juist antwoord.

(1.1p) M2. Polen van een lithium staaf

Op een tijdstip $t = t_1$ stel je vast dat de magnetische polen van een lithium staaf (een paramagneet) gericht zijn zoals in de volgende figuur:

Wat weet je dan met zekerheid over de stroomsterkte $I$ op het tijdstip $t_1$, of een eerder tijdstip $t_0 < t_1$? (De staaf is in die periode niet van positie veranderd.)

Antwoorden opties:

• G) Nu is $I > 0\text{ A}$
• L) Nu is $I < 0\text{ A}$
• R) Voorheen was $I > 0\text{ A}$
• e) Voorheen was $I = 0\text{ A}$
• E) Nu is $I = 0\text{ A}$
• l) Voorheen was $I < 0\text{ A}$

Er is slechts één juist antwoord.

(4.5p) A. Afleiding

Leid de volgende resultaten af, waarbij kort elke tussenstap toegelicht wordt:

(a) Leid de uitdrukking voor de bewegings-emk af op drie verschillende manieren, startend van de wet van Faraday, of startend van de uitdrukking voor de Lorentzkracht.

(b) Toon aan dat de wet van Faraday kan herschreven worden in een eenvoudigere vorm, met een kringintegraal van het elektrisch veld, als we een vaste vorm aannemen voor de geleidende lus waarin een spanning opgewekt wordt. Licht het verband toe met deelvraag (a).

Bijkomende instructies:

• Je ondersteunt het antwoord op elke deelvraag met één of meerdere figuren waarin je alle relevante grootheden en/of vectoren weergeeft.

• Je motiveert alle wiskundige keuzes en stappen in je afleiding en je bouwt het antwoord logisch op. Voor formules zonder motivatie krijg je geen punten.

• De formele correctheid en wiskundige notatie worden ook geëvalueerd.

• Extra informatie, formules of redeneringen die niet nodig zijn in de afleiding, leveren geen punten op. (Verlies hier geen tijd mee.)

(4,5p) V. Elektrostatische voltmeter

De volgende figuur toont een schematische voorstelling van een elektrostatische voltmeter.

Twee paren van metalen platen worden zo gemonteerd dat de grijze platen vast staan en de gearceerde platen kunnen roteren om de as (straal $R_1 = 3,00\text{ cm}$) in het midden van de figuur. Elke plaat is een kwart schijf (middelpuntshoek $90^\circ$) met een uitsparing in het midden voor de as. De roterende platen zijn via de as verbonden met de aarding terwijl de vaste platen (straal $R_2 = 24,0\text{ cm}$) verbonden worden met een voorwerp op een te meten spanning. De twee sets platen vormen een condensator, waarvan je mag aannemen dat enkel de overlappende delen bijdragen aan de capaciteit zoals een ideale vlakke plaatcondensator. Je mag verder aannemen dat de platen in evenwijdige vlakken liggen met onderlinge afstand $d = 5,00\text{ cm}$.

Onderaan de roterende platen is er een massa $m$, op een afstand $R_3 = 26,0\text{ cm}$ van het midden van de as, die ervoor zorgt dat de naald ($\uparrow$) recht naar boven wijst als er geen spanning aangelegd wordt ($\theta = 0^\circ$). Door het aanleggen van een spanningsverschil $V$ tussen de vaste en de roterende platen, zullen de platen elkaar aantrekken en draait de wijzer in tegenwijzerzin ($\theta > 0^\circ$). Bij een uitwijking $\theta = 80^\circ$ bereiken de platen maximaal overlappende oppervlaktes.

Los voor dit toestel de onderstaande deelvragen (a)...(k) op. Numerieke antwoorden geef je met drie beduidende cijfers.

Voor de eerste vier deelvragen beschouw je $\theta$ en $V$ als onafhankelijke parameters, dus zonder rekening te houden met het evenwicht tussen de zwaartekracht en de elektrostatische kracht.

• a) Wat is de maximale spanning die over de platen mag aangelegd worden zonder dat er doorslag optreedt? (Vanaf een elektrische veldsterkte $E_{\text{max}} = 3,00 \times 10^6\text{ N/C}$ treedt er doorslag op.)
• b) Wat is de capaciteit van de condensator als de naald recht naar boven wijst?
• c) Stel een symbolische uitdrukking op voor de elektrostatische potentiële energie van de condensator als functie van de gegeven grootheden.
• d) Gebruik het verband tussen krachtmoment en potentiële energie van een roterend voorwerp om een symbolische uitdrukking af te leiden voor het elektrostatisch krachtmoment dat inwerkt op de roterende platen.

Voor de volgende twee deelvragen moet je veronderstellen dat de meter een evenwicht bereikt heeft tussen de zwaartekracht en de elektrostatische kracht.

• e) Bepaal de massa $m$ die ervoor zorgt dat bij een gelijkspanning $V = 65,0\text{ kV}$ de naald een maximale uitwijking van $80^\circ$ bereikt. Reken met deze massa verder in de volgende deelvraag.
• f) Bij welke spanning wordt er een uitwijking van $40^\circ$ bereikt?

Geef bij de volgende vragen telkens een correcte motivering van je antwoord in 1 bondige zin. (Voor een antwoord zonder motivering krijg je geen punten.)

• g) Kan men een lineaire schaal voor de spanning gebruiken op de wijzerplaat?
• h) Is deze meter gevoelig aan de polariteit van de spanning?
• i) Werkt de meter ook voor wisselspanning?
• j) Is de meter een actieve of een passieve sensor?
• k) Is de meter een absolute of een relatieve sensor?

Antwoorden

• K1:

  • a) Het spanningsverschil is $-E_0 a \ln(\frac{3}{2})$
  • b) De oppervlakteladingsdichtheid in punt p is $E_0 \frac{\varepsilon_0}{2}$

• K2: afstand tussen de twee ringen is $𝑅$

• K3: 6.50e7 m/s

• K4: 0.16 Hz

• M1: antwoord d

• M2: Nu is 𝐼 < 0A

• V.:

  • a) 150 kV
  • b) 1.75 pF
  • c) ?
  • d) ?
  • e) $$m = \frac{\varepsilon_0 (R_2^2 - R_1^2) V^2}{d g R_3 \sin(80^\circ)}$$
  • f) ?
  • g) De sensor is niet-lineair
  • h) De sensor is ongevoelig voor de polariteit omdat in $\tau_{\text{e}} \propto V^2$ het kwadraat van $V$ de afhankelijkheid van het teken wegneemt.
  • i) De sensor werkt ook voor wisselspanning omdat het gemiddelde krachtmoment steeds positief is: $\overline{\tau_{\text{e}}} \propto \overline{V^2} = V_{\text{rms}}^2$.
  • j) Passieve sensor
  • k) Het is een absolute sensor

Vragen

(2p) K1. MRI-scanner

Beschouw een MRI-scanner met een magnetisch veld $B_{\text{mri}} = 3,00 \text{ T}$ in het midden van het toestel. Neem aan dat dit veld opgewekt wordt door een cirkelvormige supergeleidende lus met straal $R = 56,0 \text{ cm}$. Bepaal op welke afstand van het middelpunt van de lus (langs een rechte loodrecht op het vlak van de lus en door zijn middelpunt) dat het magnetisch veld even sterk is als het aardmagnetisch veld, $B_{\text{aarde}} = 5,00 \times 10^{-5} \text{ T}$.

Je mag niet a priori veronderstellen dat de gezochte afstand groot is ten opzichte van de straal.

Geef een numeriek antwoord met drie beduidende cijfers.

(2p) K2. Triatomisch kation

Beschouw een lineair homonucleair triatomisch kation met bindingslengte $\ell = 0,150 \text{ nm}$ en totale lading $q_t = 1 \text{ e}$. De energie van een atoom als functie van zijn partiële lading is $\chi q + \frac{1}{2} \eta q^2$, met $\chi = 7,30 \text{ V}$ en $\eta = 8,50 \text{ V/e}$, en je mag aannemen dat de atomen met elkaar interageren als puntladingen. Bereken de partiële lading van het centrale atoom, $q$, voor de meest stabiele ladingsverdeling.

Geef een numeriek antwoord met drie beduidende cijfers.

(2p) K3. Rekstrookje

Een rekstrookje met een geleider met lengte $\ell_0$ in rust en soortelijke weerstand $\rho$ wordt bevestigd op een staaf met lengte $L_0$ in rust. Als de staaf belast wordt, dan wordt zijn lengte $(1 + s)L_0$, waarin de parameter $s$ "de rek" genoemd wordt. Het rekstrookje wordt in serie geschakeld met een weerstand $R$, een spanningsbron met emk $\mathcal{E}$ en een ampèremeter (met verwaarloosbare interne weerstand). Onder belasting blijft het volume $V$ van de geleider in het rekstrookje constant.

Leid een symbolische uitdrukking af voor de transferfunctie, in termen van gegeven grootheden, met als stimulus $s$ en als signaal de stroomsterkte $I$ door de galvanometer.

(2p) K4. Pearson-Anson oscillator

De Pearson-Anson oscillator is een eenvoudige toepassing van een RC-circuit waarin een lamp knippert aan een specifieke frequentie. De volgende figuur toont het circuit:

Het circuit bevat een neonlamp (⊗) die begint te schijnen zodra de spanning over de lamp een drempelwaarde $V_2 = 190 \text{ V}$ overschrijdt. Wanneer de lamp brandt heeft ze een lage weerstand in vergelijking met $R$ en ontlaadt de condensator heel snel. Wanneer de spanning over de lamp zakt onder een andere drempelwaarde $V_1 = 70,0 \text{ V}$ stopt de lamp weer met branden. Het gas in de lamp is nu niet meer geïoniseerd en zijn weerstand wordt daardoor veel hoger dan $R$. Vanaf dan kan de condensator weer opladen tot de spanning $V_2$ terug bereikt wordt, waarna er een volgende cyclus start waarin alles herhaald wordt.

Bereken de tijdspanne tussen het einde van een lichtflits en het begin van de volgende lichtflits voor $R = 70,0 \text{ k}\Omega$, $C = 40,0 \text{ }\mu\text{F}$ en $\mathcal{E} = 300 \text{ V}$. Je mag aannemen dat de weerstand van de lamp $0 \text{ }\Omega$ is als ze brandt en $\infty \text{ }\Omega$ als ze niet brandt. Geef een numeriek antwoord met drie beduidende cijfers.

(1p) M1. Rogowskispoel

Deel (i) van de volgende figuur toont een vereenvoudigde Rogowskispoel. Dit is een toroïde die rond een stroomvoerende geleider kan geplaatst worden om een wisselstroom $I(t)$ door de geleider te meten (zie deel (i) van de figuur, de geleider staat hier loodrecht op het vlak van het blad). Wegens wederzijdse inductie ontstaat er een wisselspanning over de Rogowskispoel met dezelfde frequentie als $I(t)$.

Beschouw de vijf mogelijke posities om de Rogowskispoel te plaatsen in deel (ii) van de figuur. In geval (d) wordt er een kleinere spoel gebruikt met evenveel windingen op een torus met dezelfde doorsnede.

In welk geval wordt de kleinste spanning over de spoel gemeten die verschillend is van 0 V? (Duid deze letter aan in de figuur.)

(1p) M2. Ladingslijnen

Beschouw twee parallelle lange ladingslijnen met onderlinge afstand $a$ en lijnladingsdichtheden $+\lambda$ en $-\lambda$ zoals aangegeven in de volgende figuur:

De kubus in de figuur heeft een ribbe met lengte $a$ en zijn middelpunt ligt op de positieve ladingslijn. Vier van de ribben lopen tevens parallel aan beide ladingslijnen.

Wat is de elektrische flux door de onderste zijde van de kubus (het dichtste bij de negatieve ladingslijn)?

• h) $2\pi k \lambda a$
• v) $16\pi k \lambda a$
• k) $\pi k \lambda a$
• e) $4\pi k \lambda a$
• t) $8\pi k \lambda a$

(4p) A. Afleiding

Leid de uitdrukking af voor het elektrisch veld van een geladen schijf, op een punt $P$ dat op een rechte ligt die loodrecht staat op de schijf en door zijn middelpunt gaat.

Start je afleiding uitgaande van de elektrische veldversie van de wet van Coulomb. Teken finaal ook een grafiek van de veldsterkte als functie van de afstand tot de plaat, waarin je het verloop van de oplossing dicht bij en ver weg van de schijf toont.

Motiveer alle stappen in je afleiding en bouw het antwoord logisch op: vermeld bij elke stap wat je doet en hoe je de stap kan verantwoorden. Voor formules zonder motivatie krijg je geen punten.

Extra informatie, formules of redeneringen die niet nodig zijn in de afleiding, leveren geen punten op. (Verlies hier geen tijd mee.)

(4p) V. Cyclotron

Een cyclotron versnelt geladen deeltjes, in dit geval protonen, langs een spiraalvormig pad. Het toestel bevat twee "dees", metalen dozen in de vorm van een hoofdletter "D", die met de rechte zijde elkaar net niet raken. De dees zijn open aan de rechte kant, waardoor de protonen een spiraalbaan kunnen volgen door beide delen, zoals in de figuur.

Loodrecht op de dees heerst een statisch magnetisch veld $B = 0,73 \text{ T}$. De dees zijn aangesloten op een sinusoïdale wisselspanningsbron, $V_0 \sin(2\pi f t)$ die een elektrisch veld opwekt tussen de dees. In het midden tussen de dees zit er een bron die protonen met een verwaarloosbare kinetische energie in de richting van de bovenste dee afgeeft. In de dees worden de protonen afgebogen door het magnetisch veld, zodat ze telkens terugkeren naar de andere dee.

Los voor dit cyclotron de volgende vragen op, waarbij je mag aannemen dat de protonen een verwaarloosbare tijd nodig hebben om de afstand tussen de dees over te steken. De tijd die ze in een dee spenderen is wel significant. Geef numerieke antwoorden met het juiste aantal beduidende cijfers.

• a) Bereken de frequentie van de wisselspanningsbron waarbij een proton zo sterk mogelijk versneld wordt wanneer het van de ene naar de andere dee beweegt.

• b) Men gebruikt een cyclotron onder andere voor de productie van technetium voor medische toepassingen, door de atoomkernen van molybdeen te bestralen met protonen met een kinetische energie $K = 22,0 \text{ MeV}$.

$${}^{100}\text{Mo} + p \rightarrow {}^{99m}\text{Tc} + 2n$$

Gegeven een amplitude van de wisselspanningsbron van $V_0 = 20,0 \text{ kV}$, hoeveel rotaties moet een proton minstens afleggen in de cyclotron om de gewenste kinetische energie te bereiken?

• c) Wat is de vereiste oppervlakte van één dee voor de toepassing in de vorige deelvraag?

• d) Als het cyclotron een protonenbundel met de gewenste kinetische energie versnelt, en per seconde een lading $Q = 3,30 \text{ }\mu\text{C}$ aan protonen produceert, bereken dan het vermogen dat de wisselspanningsbron minstens moet leveren.

Antwoorden

• K1: 21.9m $$B = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

• K2: ? $$\frac{\eta}{2} \left[ q^2 + \frac{1}{2}(q_t - q)^2 \right] + \frac{k}{\ell} \left[ q(q_t - q) + \frac{1}{8}(q_t - q)^2 \right]$$ $$q = -\frac{B}{2A}$$

• K3: $I(s) = \frac{\mathcal{E}}{\frac{\rho \ell_0^2 (1 + s)^2}{V} + R'}$

• K4: 2.07 s

• M1: positie c

• M2: $2𝜋𝑘𝜆\alpha$

• V:

  • a): 1.1e+7 Hz
  • b): 550 omwentelingen
  • c): 1.4$m^2$
  • d): 72.6 W